环球科学ScientificAmerican2016-04-18 18:30:50
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一直以来，数学都被视为描述世界的绝对有效的方法，因此，人们很自然地就会考虑到：数学本身固有的不确定性是否会造成世界运行方式固有的不确定性？
撰文 阿亚卢尔·克里希南（Ayalur Krishnan）
编译 史星宇
审校 丁家琦
1918年，格奥尔格·康托尔（Georg Cantor）在德国哈雷的一座疗养院里与世长辞。作为一名优秀的数学家，康托尔在19世纪70年代为超穷数理论的建立奠定了基础。当时，他的思想受到了欧洲许多著名数学家的反对，其中一位最主要的反对者是康托尔曾经的老师——利奥波德·克罗内克尔（Leopold Kronecker）。开始的时候，康托尔十分沮丧。在他写给瑞典数学家约斯塔·米塔格－莱弗勒（GöstaMittag-Leffler）的52封信中，每一封信都提起过克罗内克尔。
让康托尔感到痛苦的不仅仅是克罗内克尔的反对，还有他自己于1878年提出的，被称为“连续统假设”的猜想。他对该猜想深信不疑，却又苦于无法证明，可这并不是他的错。一直以来，数学界关于这个假设得出的结论反复无常，充满了争议。1940年，库尔特·哥德尔（Kurt Gödel）证明了连续统假设无法被证明为误（准确地说，是无法证明假设的否命题成立）。1963年，保罗·科恩（Paul Cohen）又证明了连续统假设无法被证明为正确。幸亏那时可怜的康托尔早已去世，不然他一定会被这两个看似矛盾的结论弄得不知所措。
但这怎么可能呢？怎么可能有一件事情既无法被证实，又无法被否定？要想回答这个问题，可能要写上好几页纸的定义、前提和证明才能解释清楚。不过，这里有一个更快捷的方法来帮助我们理解，究竟要满足哪些条件才能算作真理。
康托尔的连续统假设是关于无限集合大小的陈述。要想比较无限集合的大小，首先要搞清楚普通数字的大小是怎么比较的。考虑一座小森林里的一群羊：我们假设有6只羊和6棵树，每一只羊都被拴在一棵树上，每一只羊和它对应的树都是唯一的组合，或称羊和树之间形成了“一一对应”。如果有6只羊和8棵树，就无法形成这种一一对应：不管我们怎么尝试，总会有两棵树上没有栓羊。
这种一一对应同样适用于比6只羊大得多的集合，当然也可以用来比较无限集合。 如果两个集合之间存在一一对应，那么这两个集合的大小就相同。如果不存在这种一一对应，那么其中一个集合一定要比另一个集合大。比如说，自然数集{1,2,3,4,…}里包含了5的倍数集{5,10,15,20,…}。一眼看上去，自然数集似乎显然要比5的倍数集大。 可实际上，这两个集合一样大，因为每一个自然数都有一个5的倍数与之相对应，例如：1对应5，2对应10，依此类推，不存在没有数字对应的情况。
如果我们运用同样的方法来比较实数集（包括整数、分数、小数、无理数）和自然数集，我们不难发现，实数集更大。也就是说，这两个集合之间不存在一一对应。
连续统假设是说，不存在这样一个由实数构成的无限集，比自然数集大，却比包含所有实数的集合（即实数集）小。康托尔同意这一观点，可是却无法证明它。
为什么这一假设既不能被证明，又不能被证伪呢？究其原因，我们首先要考虑，一个数学证明究竟包含哪些要素。数学结论的证明建立在公理和逻辑推导的基础上，公理是关于一些原始数学概念的表述，这些概念对于我们的直觉而言十分显然，以至于我们认为它们是不证自明的。举例来说，对于任何一个自然数（自然数就是一个原始概念），总存在比这个自然数更大的自然数，这就是一条公理。毫无疑问，这样一条公理是不证自明的。以公理为基础，再运用逻辑，就可以推导出各种复杂的结论。最后，我们可以建立起一种“模型”，也就是能够满足一系列公理的数学结构。
关键在于，每一条运用公理和逻辑推导证明出的结论都应当在由这一系列公理组成的数学结构中成立。
事实上，所有数学结论都可以通过运用与集合相关的基本概念和公理推导出来。在数学中，这一分支被称为集合论（set theory）。我们可以这样去证明一个结论：首先用集合的语言将其恰当地表述出来，再用逻辑和公理去证明它。有关集合的公理包括：一个集合里的部分元素可以用来建立一个新的集合，以及存在一个无限集合等等。
哥德尔描述了一个可以满足集合论公理的模型，但是在这个模型中，不存在大小介于自然数集与实数集之间的无限集，因此，无法证明连续统假设不成立。然而，20多年以后，保罗·科恩成功建立了另一个集合模型，同样满足了集合论的公理，但是却允许了那样一个无限集的存在，因此，也无法证明连续统假设成立。
换句话说：如果存在一个证明表明连续统假设成立，那么它必须满足所有和集合论有关的模型，然而，事实上却并非如此。同样，如果连续统假设被证明不成立，那么，它在所有和集合论有关的模型中都不应当成立，事实上也并非如此。
以后很可能会出现一些新的公理，可以证明这个假设是真的或是假的。比如说，一条新的公理可以通过提供一个新的集合组成方式来证明连续统假设不成立。这样的公理有很多，被称为“大基数公理”，它们组成了现代集合论中一个活跃的分支。可是，迄今为止，依旧没有得出什么确切的结论。
有关连续统假设的不确定性非常特殊，但同时也是至关重要的，因为这一问题涉及到了数学本身的结构，可能会引发出一系列关于科学哲学和公理化方法的重大问题。 一直以来，数学都被视为描述世界的绝对有效的方法，因此，人们很自然地就会考虑到：数学本身固有的不确定性是否会造成世界运行方式固有的不确定性？世界运行的基本法则真的变幻莫测吗？在不同的世界里，数学事实会不会也不尽相同？也许只有解决了连续统假设的问题，才有人能够得出这些结论。
原文链接：
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